Chaîne de Markov irréductible
dans laquelle tous les états communiquent (le
Noyau potentiel est non nul). $$\forall x,y\in E,\quad U(x,y)\gt 0.$$
- dans une telle chaîne, soit tous les états sont transitoires, soit tous les états sont récurrents et il n'y a qu'une seule Classe de récurrence
- dans le deuxième cas, on dit que la chaîne est récurrente irréductible
- c'est le seul cas possible si \(E\) est fini
- propriété importante : on a unicité de la Mesure invariante (à une constante multiplicative près)
- soit leur masse totale est finie, et l'unique probabilité invariante \(\nu\) vérifie \(\nu(x)=\frac1{{\Bbb E}_x[H_x]}\)
- ce cas et le seul possible si \(E\) est fini, et on a alors \(\forall x,\mu(x)\gt 0\)
- si les mesures invariantes sont de masse totale infinie, alors \(\forall x\in E,{\Bbb E}_x[H_x]=\infty\)
- on peut approcher une mesure invariante par la formule : $$\frac{\sum_{k=0}^n\Bbb 1_{\{X_k=y\} } }{\sum^n_{k=0}\Bbb 1_{\{X_k=z\} } }{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\frac{\mu(y)}{\mu(z)}$$
Questions de cours
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner une formule permettant de calculer la probabilité invariante dans une chaîne récurrente irréductible sur un ensemble fini.
Verso: $$\nu:x\mapsto\frac1{{\Bbb E}_x[H_x]}$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END
Exercices
